算数トライアスロン I

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◆ 1. あれふさん

図 1 は算数トライアスロン会場のビルです。底部は 30 m×30 m の正方形で，10 m×10 m の立方体のブロックを，下から上へ面同士がぴったり重なるように積み上げた形をしており，ビルの体積は 22000 m³ です。
屋上には，図 2 の P の位置から真上に向かって 30 m の高さの電灯が立っています。
このとき，地面にできる建物の影の面積は何 m² ですか。
(注) 電灯は点光源とします。

▼ 解説

体積が 22000 m³ であるから，見えていない部分 (左奥) はブロック 1 個だけである。よって，地上から 10 m，20 m，30 m の高さにある部分の形状は下図上のようになる。 (電灯と地上から 10 m の位置) と (電灯と地上との距離) の比は 50:60＝1:1.2， (電灯と地上から 20 m の位置) と (電灯と地上との距離) の比は 40:60＝1:1.5， (電灯と地上から 30 m の位置) と (電灯と地上との距離) の比は 30:60＝1:2 であるから，地上から 10 m，20 m，30 m の高さにある部分の影は，P を中心にそれぞれ 1.2 倍，1.5 倍，2 倍に拡大した形になる。斜めに影ができる部分に注意して，影の部分は下図下 (1 マスは 5 m×5 m) のようになる (灰色の部分＋緑色の長方形＋青色の三角形)。緑色の長方形の部分は 4×12＝48 m³，青色の三角形の部分は 5×10÷2＝25 m³，灰色の部分は 5 m×5 m のマス 67 個分になる。したがって，影の面積は 48＋25＋25×67＝1748 (m³)