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4 色の正方形のタイルをしきつめてつくった，大きな長方形があります。その中は，直角に交差する 2 本の直線を境に，4 個の小さな長方形に分かれており，左上が水色，右上が緑，左下がピンク，右下が黄色となっています。
水色の長方形はたてが横の 5 倍で，黄色のタイルは水色のタイルより 463 個多く，緑のタイルはピンクのタイルより 1165 個多くなっています。
(1) タイルは全部で何個ですか。
(2) 緑のタイルは全部で何個ですか。
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| ▼ 解説 |
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〔解説その 1〕 小学生向け
長さの単位はタイルの 1 辺の長さ，面積の単位はタイル 1 個分とする。また，大きな長方形の横の長さを A，たての長さを B とする。
1. 折り返したとき重ならない部分の面積
左側をたての線に沿って折返したとき，右端の重ならない部分の面積は 緑＋黄色−水色−ピンク＝1165＋463＝1628 となり，重ならない部分の横の長さを a とすると，a×B＝1628 である。
同様に，下側を横の線に沿って折返したとき，上端の重ならない部分の面積は 1165−463＝702 となり，重ならない部分のたての長さを b とすると，b×A＝702 である。
2. 辺の長さの奇数・偶数の関係
A と a の差は二重部分の幅なので，A が偶数なら a も偶数，A が奇数なら a も奇数であり，B と b の差は二重部分の幅なので，B が偶数なら b も偶数，B が奇数なら b も奇数である。また，b×A＝702 は 4 で割り切れないので，A と b の一方は偶数，他方は奇数である。よって，(A，a が偶数，B，b が奇数) または (A，a が奇数，B，b が偶数) のいずれかである。
3. 水色の長方形はたてが横の 5 倍であること
水色のたての長さは 5 の倍数であり，B＋b は水色のたての長さのちょうど 2 倍であるから，B＋b は 10 の倍数である。
4. A，a，B，b の関係を整理する
a×B＝1628，b×A＝702，
(A，a が偶数，B，b が奇数) または (A，a が奇数，B，b が偶数)，
B＋b は 10 の倍数である。
また，明らかに，A は a より大きく，B は b より大きい。
5. 1628 と 702 を (奇数)×(偶数) で表すと
1628＝1×1628，11×148，37×44，407×4，
702＝1×702，3×234，9×78，13×54，27×26，39×18，117×6，351×2
6. B が b より大きく，B＋b が 10 の倍数となる組み合わせは
B が奇数のとき 5 通りあり，A が a より大きいものが候補となる。すなわち，
B＝11，b＝9 のとき，A＝78，a＝148 (A が小さいので不適)
B＝37，b＝3 のとき，A＝234，a＝44 (候補 1)
B＝37，b＝13 のとき，A＝54，a＝44 (候補 2)
B＝407，b＝3 のとき，A＝234，a＝4 (候補 3)
B＝407，b＝13 のとき，A＝54，a＝4 (候補 4)
B が偶数のときも 5 通りあり，
B＝44，b＝6 のとき，A＝117，a＝37 (候補 5)
B＝44，b＝26 のとき，A＝27，a＝37 (A が小さいので不適)
B＝148，b＝2 のとき，A＝351，a＝11 (候補 6)
B＝1628，b＝2 のとき，A＝351，a＝1 (候補 7)
B＝1628，b＝702 のとき，A＝1，a＝1 (A が小さいので不適)
7. 水色の横とたて
水色の横は A−a の半分、水色のたては B＋b の半分であるから、B＋b は A−a の 5 倍にならなければならない。7 通りの候補のうち，この条件を満足するのは
B＝37，b＝13 のとき，A＝54，a＝44 (候補 2)
だけである。
したがって，答えは
(1) 全部のタイルの個数は 37×54＝1998 (個)
(2) 緑のたて＝(37＋13)÷2＝25，緑の横＝(54＋44)÷2＝49 より，緑のタイルの個数は 25×49＝1225 (個)
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〔解説その 2〕 中学生向け
2 つに分けたたての長さを p (上) と q (下)，2 つに分けた横の長さを r (右) と s (左) とすると，
qr−ps＝463...(A)，pr−qs＝1165...(B)，p＝5s...(C)
よって，(A)＋(B) より，(r−s)(p＋q)＝1628...(D)，
(A)−(B) より，(r＋s)(p−q)＝702...(E)
また，(A)，(B) に (C) を代入して，
qr−5s2＝463...(F)，s(5r−q)＝1165...(G)
(F) より，q は 5 の倍数ではないから，5r−q は 5 の倍数ではない。
よって，(G) より，s は 5 の倍数である。
そこで，s＝5t とおくと，(F)，(G) は
qr−125t2＝463...(F)'，t(5r−q)＝233...(G)'
233 は素数であるから，(G)' より，t＝1 または 233
t＝233 とすると，p＝5s＝25t＝5825 となり，(D) に矛盾。
よって，t＝1 であり，s＝5，p＝25
したがって，(F)'，(G)' より，qr＝588...(H)，5r−q＝233...(I)
(E) より，p−q＞0 で，p＝25 であるから，q≦24
(I) より，5r＝233＋q で，1≦q≦24 であるから，47≦r≦51
47≦r≦51 のうち，588 を割り切るのは r＝49 で，このとき q＝12 となる。
以上より，(p，q，r，s)＝(25，12，49，5)
したがって，答えは
(1) (25＋12)×(49＋5)＝1998 (個)
(2) 25×49＝1225 (個)
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