◆ 26. ありさのお父さん さん

1 から 9 までの 1 けたの数字がかかれたカードがたくさんありました。 fumio さんは，名前にちなんで 2 のカードと 3 のカードをたくさん取りました。 虫が大好きな TORA さんは，6 のカードと 4 のカードをたくさん取りました。 ここで，2 人は自分自身が取ったカードを好きなようにならべて数をつくります。 fumio さんなら 232323 (ふみふみふみ) とか 222 (ふふふ) ，TORA さんなら 646464 (むしむしむし) とか 666 (むむむ) がつくれますね。 では，2 人がつくることのできる数の中で，128 で割り切れる一番小さな数と 2 番目に小さな数はいくつですか。 ヒント: 128 で割り切れる 6 けたの数は，2 人とも一つずつしかつくれませんでした。このとき，A さんがつくった 6 けたの数は，A さんがつくることのできる 128 で割り切れる数の中では一番小さな数でした。また，B さんがつくった 6 けたの数は，B さんがつくることのできる 128 で割り切れる数の中では 2 番目に小さな数でした。 注意: 十進法です。また，カードを上下逆さにして 6 を 9 にして使うことはできません。

▼ 解説 6 と 4 の虫めづる TORA さんは，128 で割り切れる数をつくるのは大変であるが，半分の 64 で割り切れる数なら 64，6464，… というように簡単につくることができる。6 けたなら 646464 であるが，これは 64 の奇数 (10101) 倍であるので 128 では割り切れない。 ところで，奇数倍に奇数倍をたす，または，奇数倍から奇数倍をひけば偶数倍になるから，もう一つ 64 の奇数倍を探そう。100000＝105＝25×55 より，200000 (＝26×55) は 64 (＝26) の奇数倍である。よって，646464−200000＝446464 は 64 の偶数倍，すなわち，128 で割り切れる数である。 また，400000 (＝27×55) は 128(＝27) の倍数であるから，446464−400000＝46464 も 128 で割り切れる。 よって，ヒントにおける B さんが TORA さんということになり，TORA さんがつくることのできる 128 で割り切れる数は小さい順に 46464，446464，… である。 2 と 3 の fumio さんについても，同様にして考える。 323232 は 32 の奇数倍であり，100000 (＝25×55) は 32 (＝25) の奇数倍であるから，323232−100000＝223232 は 64 の倍数である。ここで，223232 は 128 でも割り切れることがわかるので，ヒントにより，fumio さんがつくることのできる 128 で割り切れる最も小さい数は 223232 である。 したがって，2 人がつくることのできる数の中で，128 で割り切れる一番小さい数は 46464，2 番目に小さい数は 223232 である。 これじゃ，解き方になってないって！ その通りなんですよ。この問題は国際算数検定の問題のもじりなんですが，かっこいい解き方がわからなかったので，ここに出しました。よい解き方がわかった人は教えてください。なお，Excel で確認はしてあります。(おいっ！) 6 けたまでなら，2 つの数字でできている数はたった 126 通りしかありません。 ですから，全部手計算で調べることも可能です。 「でも，答えがわかるころには，疲れて46464 (よろよろよ)。」 おあとがよろしいようで。