◆ 3. 川田智之 さん

図のように，長方形 ABCD を AF に沿って折り返したところ，頂点 D は辺 BC 上の点 E に重なり，∠AEB＝60°となりました。 図の中に 4 つの直角三角形ができますが，それぞれに内接する円のうち，最も大きな円と最も小さな円の面積比を答えてください。 (内接円 −相似比と面積比−)

▼ 解説 4 つの直角三角形は互いに相似で，直角以外の内角は 60°と 30°である。DF＝EF，EF:FC＝2:1 より，DF:FC＝EF:FC＝2:1 また，AD＝AE，AE:BE＝2:1 より，AD:BE＝2:1 であるから，E は BC の中点である。したがって，4 つの直角三角形の面積は 三角形 AFD＝三角形 AEF＝(長方形 ABCD)×1/3 三角形 AEB＝(長方形 ABCD)×1/4 三角形 EFC＝(長方形 ABCD)×1/12 一般に，相似な三角形の相似比とその内接円の相似比は等しい。 よって，直角三角形の面積比とその内接円の面積比は一致する。 したがって，求める面積比は (最も大きな円):(最も小さな円)＝(三角形 AFD):(三角形 EFC)＝4:1 である。