算数トライアスロン IV

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◆ 12. DrK さん

平らな板の上に，3 cm の間かくで 2 本のくぎが打ちつけられています。一方のくぎに，長さ 15 cm の糸をつけ，その糸の先には半径 3 cm の円板をつけます。ここで，糸は円板の周上につけるものとします。そして，糸を張ったまま，(円板にくっついている) 糸の延長線上に円板の中心が常にあるようにして，円板を板からはなさないで動かします。また，糸が完全にくぎにまきついたとき，円板はくぎの周りを回転できますが，もう一方のくぎに引っかかります。このとき，

(1)　円板が通ることのできる部分の面積は何 cm² ですか。
(2)　円板の中心がえがく曲線の長さは何 cm ですか。

ただし，円周率は 3.14 とし，1 辺の長さが 2 cm の正三角形の高さは 1.732 cm とします。

(1年間考えた割に簡単な問題)

▼ 解説

(1)　くぎの間かくと円板の半径が等しいことに注意すると，円板が通ることのできる部分には，1 辺の長さが 3 cm の正三角形のすき間が 2 つできる。したがって，半径が 15＋6＝21 cm の円から，1 辺の長さが 3 cm の正三角形 2 つ分を取り除けばよいから，求める面積は 21×21×3.14－3×(1.732×3/2)÷2×2＝1376.946 (cm²) (2)　2 本のくぎと円板の中心が一直線上にある状態から，糸を時計回りにくぎにまきつけていくことにする。はじめ，円板の中心は半径が 15＋3＝18 cm の円弧をえがく。半周したところで糸はくぎに引っかかり，半径が 18－3＝15 cm の円をえがき始める。同様に，半周えがくたびに 3 cm ずつ円の半径は小さくなっていき，ついには，糸が完全にくぎにまきつくことになる。そして，円板がもう一方のくぎに引っかかるまで，円板をくぎの周りに回転させるとき，円板の中心は半径 3 cm，中心角 120°の円弧をえがく。同様にして，はじめの状態から反時計回りに糸をまきつけていくことができる。したがって，求める長さは (18＋15＋12＋9＋6)×2×3.14＋3×2×3.14×2/3＝124×3.14＝389.36 (cm)