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山手線は全部で 29 駅あり，総延長は 35 km です。それを平均時速 32 km で電車が回る環状線です (約 1 時間で一周するわけですね)。
200X 年 4 月，山手線に快速電車を走らせることになりました。停車させる駅は 4 駅に決まりました。また，快速停車駅間には少なくとも一つの通過駅があるようにします。
(1) 東京駅が快速電車の停車駅として確定している場合，残りの 3 駅の決め方は何通りありますか。
(2) 確定している停車駅がない場合，4 つの停車駅の決め方は何通りありますか。
(Yamanote LOOP)
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| ▼ 解説 |
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(1) 29 の駅に次のように番号をふる。東京駅を 1 として，時計回りに 2，3，…，29 とする (有楽町は 2，秋葉原は 28 となる)。残り 3 つの停車駅の番号を x，y，z (x＜y＜z) とすると，3≦x＜y−1＜z−2≦26 である。
これを満たす x，y，z の組の個数は，3，4，5，…，26 の 24 個から 3 つを選んで作られる組合せの個数であるから，24×23×22÷6＝2024 (通り)
(2) 第一の停車駅を決めてから残りの 3 つの停車駅を決めると考えると，(1) の結果から，2024×29÷4＝14674 (通り)
(4 で割るのは，第一の駅を決めるときに重複して 4 回数えられることを除外するため。)
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