◆ 17. CRYING DOLPHIN さん

図 1 のような，透明な同じ大きさの立方体の小箱がたくさんあり，小箱の各面の中心には小さな穴があいています。 また，いくつかの小箱には，各面に内接する粘土製の赤玉が入っています。 これから，小箱をすき間なく積み重ねて立方体を作ります。そして，次のような操作を考えます。 まず，長くてまっすぐで細い針金を 1 本用意します。 小箱を積み重ねて作った立方体の表面に出ている小箱の面を一つ選び，その面にあいている穴に針金を通し，立方体の反対側まで通します。 そして，針金を最初に通した面に，針金が貫通した赤玉の数を記入します。 例えば，図 2-A のように小箱 8 個で立方体を作ったとき，図 2-B は小箱の面のいくつかに数字を記入したものです。 (1)　27 個の小箱をすき間なく積み重ねて立方体を作りました。 図 3 は，表面に出ている小箱の面に数字をいくつか記入したものです。 このとき，赤玉の入った小箱は何個あると考えられますか。 (2)　343 個の小箱をすき間なく積み重ねて立方体を作りました。 図 4 は，表面に出ている小箱の面に数字をいくつか記入したものです。 このとき，赤玉の入った小箱は何個あると考えられますか。 (立体図形?!)

▼ 解説 (1)　これは地道に調べていくことにする。 "3" と書いてある方向の小箱には，すべて赤玉が入っている。 図 A で 黄→緑→水色 の順に調べていくことにより，赤玉の入った小箱の位置がすべて特定されるので，赤玉の入った小箱は 16 個と分かる。 (2)　(1) は小箱の数が少なかったので，地道に調べてできたが，今度は普通に調べていくと大変なことになりそうである。 そこで，問われているのは「赤玉の入った小箱の数」であって，赤玉の入った小箱の具体的な置き方ではないことに注目する。 図 C において，灰色の 63 個の小箱のうち，赤玉の入った小箱の数は 1＋3×3＋2×4＋7＝25 次に，図 D で灰色の 70 個の小箱について考える。 緑部分の数字の和 1＋2×7＋3×5＋7＝37 から，水色部分の数字の和 1＋2＋4＋7＝14 を引けばよい。 よって，赤玉の入った小箱の数は 37−14＝23 同様に，図 E の灰色の部分では，(1×4＋2×2＋3×5＋4＋5×2)−(1＋2＋4＋7)＝23 が赤玉の入った小箱の数である。 図 F の灰色の部分では，(1×5＋2×3＋4×2＋5×3＋7)−(3×3＋4)＝28 が赤玉の入った小箱の数である。 図 G の灰色の部分では，(1×4＋2×5＋3×3＋5＋6)−(2×2＋3×2)＝24 が赤玉の入った小箱の数である。 以上で，すべての小箱について調べたことになる。 したがって，答えは 25＋23＋23＋28＋24＝123 (個) (参考) 赤玉の入った小箱の配置例は図 I のようなものがあります。 具体的配置の一意性は確認していません。