◆ 22. あやのりん さん

(1)　図 1 のような展開図を組み立てた立体 (ア) を考えます。この立体の体積は，図 1 の赤色部分 (正三角形 ABC) を組み立てた正四面体 (イ) の体積の何倍ですか。 ただし，青色の辺 DB，EC，CJ，IJ の長さは等しく，その他の辺の長さはすべて等しくなっています。また，∠DBC＝∠ECB＝90°で，DI，HE は一直線です。 (2)　あやのりんは，立体 (ア) に日本酒が入っていることを発見しました。いま，立体 (ア) は三角形 HIC が底面となっていて，日本酒はちょうど半分の高さまであったそうです。そこで，あやのりんはその日本酒が飲みたくて，どうやってばれないようにこっそり飲もうか考えました。 それをメスシリンダーで正確にはかったところ，59.8 ml あったそうです。そして，今度は三角形 DBF を底面として立体 (ア) のちょうど半分の高さになるようにちょびっと飲んだそうです。 さて，あやのりんは日本酒を何 ml 飲むことができたでしょうか。 (あやのときめきメモリアル問題♪)

▼ 解説 (1)　図 1 の展開図を組み立てると，図 2 のような立体 (ア) が完成する (A，F，H，G は同一平面上にある)。 これは，図 3 のように正三角形 ABC を一つの面としてできる正四面体 (ウ) から，図 4 → 図 5 のように取り除いたものとなる。F，I，C，G はぞれぞれ各辺の中点である。 したがって，図 3 の正四面体 (ウ) は正三角形 ABC を組み立ててできる正四面体 (イ) の 2×2×2＝8 倍であり，図 4 において底面積が 3/4 倍となり，図 5 において小さい正四面体 (イ) が 2 つ取り除かれるので，8×3/4−2＝4 倍である。 (2)　小さい正四面体 (イ) の体積を 1 とすると，立体 (ア) の体積は 4，大きい正四面体 (ウ) の体積は 8 となる。 立体 (ア) は三角形 HIC を底面におくと図 5 のようになり，高さがちょうど半分である日本酒の水面は F，G の位置にある。よって，はじめに入っていた日本酒の量は 8×7/8−1−1−2×7/8＝13/4 であり，これが 59.8 ml に相当する。 次に，三角形 DBF を底面におくと図 6 のようになり，その高さは正四面体 (ウ) の 1/2 になるため，飲み終わったあとの高さは (ウ) の 1/4 となる。 よって，飲んだ後の体積は 8−8×(3×3×3)/(4×4×4)−(1＋2)×7/8＝2 したがって，あやのりんがこっそり飲んだ日本酒の量は 13/4−2＝5/4 すなわち，59.8×5/13＝23 (ml) ほんとにちょびっとですね。。。(^^ゞ