◆ 30. ありっち さん

1 辺の長さが 12 cm の立方体 ABCD-EFGH があります。 点 あ〜し はこの立方体の辺の中点，点 u〜z は面の中心，点 O は立方体の中心です。 (1)　8 つの三角すい A-きさし，B-くけし，C-おこけ，D-かこさ，E-うえき，F-あえく，G-あいお，H-いうか の共通部分 (重なる部分) の体積は何 cm3 ですか。 (2)　4 つの三角すい A-wxz，C-vyz，F-uxy，H-uvw の共通部分 (重なる部分) の体積は何 cm3 ですか。 補足: それぞれ 8 つまたは 4 つの三角すいすべてに共通する部分を考えてください。共通部分は立方体の中心 O をふくみます。 よく似た問題 (というか元ネタ) が，以下にありますので参考にしてください。 算数トライアスロン III　第 16 問 (ぶぶおパパ さん) ピカピカ★算数　算数限界編　問 19 (CRYING DOLPHIN さん) (みんな大好き，立体の切断だよ!!)

▼ 解説 (1)　共通部分は合同な 24 個の面からなる立体となる。立方体を面に平行にたて横に切断し，小立方体 8 個に分けると考えやすい。右上手前の小立方体で考える (右図 1)。 小立方体 uうCえ-Owきx を，面 Gあい は Ou を O から 2 cm の点で， Ow を O から 3 cm の点で， Ox を O から 3 cm の点で切断する (赤色の面)。 面 Dかさ は Ou を O から 3 cm の点で， Ow を O から 2 cm の点で， Ox を O から 3 cm の点で切断する (緑色の面)。 面 Bくし は Ou を O から 3 cm の点で， Ow を O から 3 cm の点で， Ox を O から 2 cm の点で切断する (青色の面)。 この他の面は中心 O から遠いので，以上の 3 面だけを考えればよい。 面 Dかさ と 面Bくし と 水平面Owx の交点 P から垂直面 Oux に下ろした垂線の足を P'，P から垂直面 Ouw に下ろした垂線の足を P" とすると，比を考えて PP'＝PP"＝6/5 cm (右図 2)。 同様に，3 面の交点 S から垂直面 Oux に下ろした垂線の足を S'，S から垂直面 Ouw に下ろした垂線の足を S" とすると，SS'＝SS"＝6/7 cm (右図 3)。 したがって，立体の 2 面 (緑と青) と中心 O を通る水平面，垂直面がつくる四角すいの体積から，第 3 の面 (赤) で切った外側の四角すい TRSQ の体積を引いて，12/5−12/35＝72/35 (cm3) これを 8 倍して 72/35×8＝576/35 (cm3) (2)　立体 ACFH は正四面体で，u〜z は各辺の中点であるから，この問題は次のように言い換えることができる。 「左下図 4 は体積 12×12×12×1/3＝576 cm3 の正四面体 ABCD で，E〜J は各辺の中点です。4 つの三角すい A-HIJ，B-FGJ，C-EGI，D-EFH の共通部分 (重なる部分) の体積は何 cm3 ですか。」 さて，しばし沈思黙考するか，正四面体を組み立ててみると (右上図 5)，問題の立体は，各面の重心 P，Q，R，S を結んだ小さな正四面体 PQRS の各面の上に，背の低い三角すいを乗せた形と分かる。TP:PA＝1:2 から，小さい正四面体 PQRS の高さはもとの正四面体の 1/3 である。 次に，背の低い三角すいの高さを求める。 もとの正四面体を面 PQR で切った面を真上から見ると右図 6 のようになる。 面 PQR の上に乗った背の低い三角すいの頂点を X，PR の中点を Y とすると，面 BFG が三角すいの面 PXR をつくる。 (言い換えると，B，P，R，X，Y，F，G は同じ平面上にある。) Y から底面 BCD に下ろした垂線の足を Y'，X から面 PQR に下ろした垂線の足を X' とすると，X' は XS と面 PQR の交点。 BY':Y'S＝5:1 より，YY':XX'＝5:1 YY' は小さい正四面体 PQRS の高さと同じなので，背の低い三角すいの高さ XX' はもとの正四面体の高さの 1/3×1/5＝1/15 (倍) したがって，もとの正四面体の体積を 1 とすると，求める体積は小さい正四面体一つと背の低い三角すい 4 つであるから， 1/3×1/3×1/3＋1/3×1/3×1/15×4＝1/15 もとの正四面体の体積は 12×12×12×1/3＝576 cm3 であるから，求める体積は 12×12×12×1/3×1/15＝192/5 (cm3)