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4 組のペアからなる 8 枚のカードを使って,二人で神経衰弱の勝負をします。両者とも「最善手」を取ったときの
(先手勝ちの確率):(引き分けの確率):(後手勝ちの確率)
を最も簡単な整数の比で答えてください。「最善手」とは,最終的により多くのカードが手に入るような手とします。
なお,神経衰弱とは
- カードをよくかきまぜ,うら向きにふせて「場」にならべる。
- 手番の人が,「場」のカードを 1 枚ずつ 2 枚めくる。表にしたカードは相手にも見せる。
- その表にしたカードがペアだったら,この 2 枚のカードを「場」から「手元」に持ってきて自分のものにし,2. にもどる。ペアでなかった場合は,そのカードを再びひっくり返してうら向きにし,手番を代えて 2. にもどる。
- 「場」のカードがすべてなくなったら終了で,「手元」にあるカードの枚数が多い方が勝ち。
というゲームですが,次の特別ルールを課します。
- 1 枚目のカードをめくるとき
それまでの経過からペアになるものが分かっていれば,そのペアのカードをめくり,ただちに手に入れる。ペアになるものがないならば,必ず未確認のカードをめくる。
- 2 枚目のカードをめくるとき
1 枚目にめくったカードが確認済みのカードのペアだったら,2 枚目のカードはそのペアのカードをめくり,ただちに手に入れる。
この条件の下で,2 組 (4 枚) のカードで勝負を行った場合,先手勝ち,後手勝ちの確率は,それぞれ 1/3,2/3 なので,この問題の解答形式にしたがうと 1:0:2
また,3 組の場合はそれぞれ 7/15,8/15 なので,7:0:8 となります。
いずれも後手番が有利ですが,4 組の場合もやっぱり後手有利?
(やっぱり後手有利?)
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| ▼ 解説 |
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場にいくつかのカードが残っている状態からそれがなくなるまで,どのような状態へどのような確率で変移していくかを考える。
【ここで使う表記について】
[ ] 内に,手元と場のカードについての情報を以下のルールで記す。[ ] の前の数はその状態になる確率を表し,[ ] 内の先頭の+は省略する。
[(+,−) (数) (+,−) (アルファベット,?)]
- (数) とその直前の符号
手元のカードの枚数の差。
"0" のときは (場に何もない場合を除いて) 省略。
符号については,基準としている人の方が多い場合は+。
- (アルファベット,?) とその直前の符号
場に残っているカードを表し,それぞれの記号の意味は
小文字のアルファベット : うら返しになっている既知のカード
大文字のアルファベット : 手番の人がめくっているカード
? : まだめくられていない未知のカード
同じアルファベット(大文字小文字は区別しない)はペア。
符号については,基準としている人に手番がある場合は+,相手に移っている場合は−とする。
各カードに対するアルファベットの割り当ては,ペア,非ペア関係が確認できる範囲で適当につけかえている。
例えば,[abA?????] は場に 8 枚のカードがあり,そのうち 2 枚はそれまでのプレイで判明していて,手番の人が 1 枚だけめくった状態を表す。そして,そのめくったカードは,判明しているカードの一つとペアである ([abA?????] と [abB?????] を同一視する)。また,両プレイヤーの手元にあるカードの枚数に差はない。
(A) 場にカードが 4 枚残っていて,そのうち 2 枚が判明している状態
[ab??]=[4]
(B) 場にカードが 4 枚残っていて,そのうち 1 枚が判明している状態
[a???]=1/3[aA??]+2/3[aB??]
=1/3[4]+2/3×(1/2[aBB?]+1/2[aBA?])
=1/3[4]+2/3×(1/2[4]+1/2[−4])
=2/3[4]+1/3[−4]
ここで,[aB??] のあと,既知のカードをめくる戦略と,未知のカードをめくる戦略が考えられるが,後者を選択する。仮に,既知のカードをめくって手番を相手に回すと,[−ab??] となり,残りすべてのカードを相手に取られてしまう。したがって,未知のカードをめくるのが最善手となる。
(E) の [abC???],(K) の [abcD????] においても同様の理由でこの戦略を用いる。
(C) 場にカードが 4 枚残っていて,すべて未確認の状態
[????]=[A???]=1/3[AA??]+2/3[AB??]
=1/3[4]+2/3[−ab??]=1/3[4]+2/3[−4]
(F) 場にカードが 6 枚残っていて,そのうち 3 枚が判明している状態
[abc???]=[6]
(G) 場にカードが 6 枚残っていて,そのうち 2 枚が判明している状態
[ab????]=2/4[abA???]+2/4[abC???]
=2/4[2+a???]+2/4×(1/3[abCC??]+2/3[abCA??])
=2/4[2+a???]+2/4×(1/3[2+ab??]+2/3[−2−ab??])
=2/4×(2/3[6]+1/3[−2])+2/4×(1/3[6]+2/3[−6])
=1/2[6]+1/6[−2]+1/3[−6]
(H) 場にカードが 6 枚残っていて,そのうち 1 枚が判明している状態
[a?????]=1/5[aA????]+4/5[aB????]
第 2 項は戦略により結果が異なる。
(H-1) 未知のカードをめくる場合
[aB????] → 1/4[aBB???]+1/4[aBA???]+2/4[aBC???]
=1/4[2+a???]+1/4[−2−a???]+2/4[−abc???]
=1/4×(2/3[6]+1/3[−2])+1/4×(2/3[−6]+1/3[2])+2/4[−6]
=1/6[6]+1/12[2]+1/12[−2]+2/3[−6]
(H-2) 既知のカードをめくる場合
[aB????] → [AB????]=[−ab????]
=1/3[6]+1/6[2]+1/2[−6]
よって,(H-2)が最善手となる。
[a?????]=1/5[aA????]+4/5[aB????]
=1/5[2+????]+4/5[AB????]
=1/5×(1/3[6]+2/3[−2])+4/5×(1/3[6]+1/6[2]+1/2[−6])
=5/15[6]+2/15[2]+2/15[−2]+6/15[−6]
(I) 場にカードが 6 枚残っていて,すべて未確認の状態
[??????]=[A?????]
=1/5[AA????]+4/5[AB????]
=1/5[2+????]+4/5[AB????] ← この式は (H) と同様
=5/15[6]+2/15[2]+2/15[−2]+6/15[−6]
(J) 場にカードが 8 枚残っていて,そのうち 4 枚が判明している状態
[abcd????]=[8]
(K) 場にカードが 8 枚残っていて,そのうち 3 枚が判明している状態
[abc?????]=3/5[abcA????]+2/5[abcD????]
=3/5[2+ab????]+2/5×(1/4[abcDD???]+3/4[abcDA???])
=3/5[2+ab????]+2/5×(1/4[2+abc???]+3/4[−2−abc???])
=3/5×(1/2[8]+1/6[0]+1/3[−4])+2/5×(1/4[8]+3/4[−8])
=4/10[8]+1/10[0]+2/10[−4]+3/10[−8]
(L) 場にカードが 8 枚残っていて,そのうち 2 枚が判明している状態
[ab??????]=2/6[abA?????]+4/6[abC?????]
第 2 項は戦略により結果が異なる。
(L-1) 未知のカードをめくる場合
[abC?????]
→ 1/5[abCC????]+2/5[abCA????]+2/5[abCD????]
=1/5[2+ab????]+2/5[−2−ab????]+2/5[−8]
=1/5×(1/2[8]+1/6[0]+1/3[−4])+2/5×(1/3[4]+1/6[0]+1/2[−8])+2/5[−8]
=3/30[8]+4/30[4]+3/30[0]+2/30[−4]+18/30[−8]
(L-2) 既知のカードをめくる場合
[abC?????] → [−abc?????]
=9/30[8]+6/30[4]+3/30[0]+0/30[−4]+12/30[−8]
よって,(L-2)が最善手となる。
[ab??????]=2/6[abA?????]+4/6[abC?????]
=2/6[2+a?????]+4/6[−abc?????]
=2/6×(5/15[8]+2/15[4]+2/15[0]+6/15[−4])+4/6×(3/10[8]+2/10[4]+1/10[0]+4/10[−8])
=14/45[8]+8/45[4]+5/45[0]+6/45[−4]+12/45[−8]
(M) 場にカードが 8 枚残っていて,すべて未確認の状態
[????????]=[A???????]
=1/7[AA??????]+6/7[AB??????]
=1/7[2+??????]+6/7[−ab??????]
=1/7×(5/15[8]+2/15[4]+2/15[0]+6/15[−4])+6/7×(12/45[8]+6/45[4]+5/45[0]+8/45[−4]+14/45[−8])
=29/105[8]+14/105[4]+12/105[0]+22/105[−4]+28/105[−8]
したがって,
先手勝ちの確率=29/105+14/105=43/105
引き分けの確率=12/105
後手勝ちの確率=22/105+28/105=50/105
すなわち,答えは 43:12:50 である。
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