図のように，∠ADC＝117°，∠DAB＝90°，∠DCB＝72°の四角形 ABCD の内部に点 P をとったところ，AB＝DP，∠ADP＝36°，∠DPC＝45°でした。
このとき，∠DAP は何度ですか。
(角度の問題)
▼ 解説
△PDC を点 D を中心として時計回りに 36°回転してできる三角形を △A'DE' とすると，点 E' は辺 BC 上にある。なぜなら，△CDE' は頂角 36°，底角 72°の二等辺三角形となるからである。
辺 BC 上に CD＝BE となる点 E をとる。∠ABE＝360−117−90−72＝81°，∠A'DE'＝∠PDC＝117−36＝81°より，∠ABE＝∠A'DE'
よって，△ABE と △A'DE' は合同となり，AE＝A'E'
∠DA'E'＝∠DPC＝45°，∠DAE＝90°−∠BAE＝90°−∠DPC＝45°より，AE//A'E'
ところが，辺 AD と辺 BC は平行ではないので，AE＝A'E' となるには点 A と点 A' が一致しなければならない。よって，DA＝DP
したがって，△ADP は二等辺三角形となり，
∠DAP＝(180−36)÷2＝72°
図のように，∠ADC＝117°，∠DAB＝90°，∠DCB＝72°の四角形 ABCD の内部に点 P をとったところ，AB＝DP，∠ADP＝36°，∠DPC＝45°でした。
△PDC を点 D を中心として時計回りに 36°回転してできる三角形を △A'DE' とすると，点 E' は辺 BC 上にある。なぜなら，△CDE' は頂角 36°，底角 72°の二等辺三角形となるからである。