算数トライアスロン V

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◆ 5. 長野美光さん

面積が 36 a (アール) の正方形の池 ABCD があり，辺 AB の部分だけが道になっています。いま，A 地点にヨシオ君が，B 地点にお父さんとポチがいます。ヨシオ君とお父さんは同時に道 AB をお互いに向かって移動をはじめます。ポチも同時に移動をはじめますが，最初はヨシオ君に向かって進み，ヨシオ君に出会うと引き返して，お父さんに向かって進みます。ヨシオ君の速さは時速 3.6 km，お父さんの速さは分速 270 m，ポチの速さは秒速 9 m で，一定の速さで移動します。ポチがヨシオ君に出会い，引き返してからお父さんに出会ったときのヨシオ君の位置を E，お父さんとポチの位置を F とします。

さて，ヨシオ君のお父さんは，この池をふくむ広大な土地の持ち主ですが，点 E と点 F を基準にして池の形を変える計画を立てました。お父さんは，業者に

「まず，道 AB 上に 2 点 G，H をとり，これらと別の点 I を結んで三角形 GHI をつくるのだ。ただし，2 点 G，H は EG＝GH＝HF をみたしていること。ただし，点 I は EF を直径とする円の周上ならどこにとってもよい。
点 I を正方形 ABCD の外側にとったときは，三角形 GHI の部分を新たに池にする。
点 I を正方形 ABCD の内側にとったときは，三角形 GHI の部分はうめ立てて陸地にする。
点 I を正方形 ABCD の辺上にとったときは，三角形 GHI はできないが，その場合は池の形は変えないことにする。」

という条件を出しました。それを聞いていたヨシオ君は，点 I を正方形 ABCD の外側にとったとき，内側にとったときとして，図のような形を思い浮かべましたが，もちろんこの他にもいろいろな形が考えられます。

では，お父さんの出した条件を満たす池の形のうち，

(1)　池の面積が最小になるとき，池の面積は何 m² ですか。
(2)　池の面積が最大になるとき，池の面積は何 a ですか。

道の幅，人やポチの大きさは無視し，線分および点と考えます。また，ポチが折り返すときの時間は 0 とします。1 a は 1 辺が 10 m の正方形の面積，すなわち 100 m² です。

(単位にまどわされるな!)

▼ 解説

点 E，F の位置を求める。池の面積は 36 a であるから，1 辺の長さは 60 m である。また，ヨシオ君とお父さんの速さはそれぞれ毎秒 1 m，毎秒 4.5 m である。はじめ，ヨシオ君とポチは 60 m はなれていて，それぞれ毎秒 1 m および毎秒 9 m で近づくので，60÷(1＋9)＝6 秒後に出会う。このとき，ヨシオ君とポチは A から 6 m，お父さんは B から 27 m の位置にいて，その間のきょりは 60－(6＋27)＝27 (m) 次に，お父さんとポチは，それぞれ毎秒 4.5 m および毎秒 9 m で近づくので，27÷(4.5＋9)＝2 秒後に出会う。結局，はじめから 6＋2＝8 秒間移動したことになり，ヨシオ君とお父さんは，それぞれ 8 m，36 m 進んでいるので，EF＝60－(8＋36)＝16 (m) 次に，点 G，H の位置を求める。点 G，H は EF の 3 等分点にとる以外に，点 G を点 F の位置に，点 H を点 E の位置にとる場合が考えられる。ここで，点 G を点 F の位置に，点 H を点 F から 16 m だけ点 B 寄りにとる場合も考えられるが，答えは同じになる。三角形 GHI の面積が最大になるように 3 点 G，H，I をとれば，池の面積が最大および最小となるので，点 G，H を EF の 3 等分点にとるよりも，図のように，点 G を点 F の位置に，点 H を点 E の位置にとるとよい。このとき，三角形 GHI の面積が最大になるのは，点 I を図のような位置 (EI＝FI となる位置) にとったときで，その面積は 16×8÷2＝64 m² である。したがって，池の面積の (1)　最小値は 3600－64＝3536 (m²) (2)　最大値は (3600＋64)÷100＝36.64 (a)