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10 円玉，50 円玉，100 円玉，500 円玉を組合せて，合計 1 万円にする方法は何通りですか。ただし，使わない硬貨があってもよいものとします。
(壱萬円)
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| ▼ 解説 |
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500 円玉の使用枚数で場合分けをする。
(1) 20 枚使用する場合
他の硬貨は使用できないので 1 通り
(2) 19 枚使用する場合
10000−500×19＝500 円を他の 3 種類の硬貨で組み合わせる。
(2-A) 100 円玉を 5 枚使用する場合
他の硬貨は使用できないので 1 通り
(2-B) 100 円玉を 4 枚使用する場合
他の 2 種類の硬貨で 100 円を組み合わせる。
50 円玉の使用枚数は 0，1，2 枚のいずれかであるから 3 通り
(2-C) 100 円玉を 3 枚使用する場合
他の 2 種類の硬貨で 200 円を組み合わせる。
50 円玉の使用枚数は 0〜4 枚のいずれかであるから 5 通り
(2-D) 100 円玉を 2 枚使用する場合
他の 2 種類の硬貨で 300 円を組み合わせる。
50 円玉の使用枚数は 0〜6 枚のいずれかであるから 7 通り
(2-E) 100 円玉を 1 枚使用する場合
他の 2 種類の硬貨で 400 円を組み合わせる。
50 円玉の使用枚数は 0〜8 枚のいずれかであるから 9 通り
(2-F) 100円玉を使用しない場合
他の 2 種類の硬貨で 500 円を組み合わせる。
50 円玉の使用枚数は 0〜10 枚のいずれかであるから 11 通り
よって，500 円玉を 19 枚使用する場合の組合せは
1＋3＋5＋7＋9＋11＝36 (通り)
(3) 18 枚使用する場合
10000−500×18＝1000 円を他の 3 種類の硬貨で組み合わせる。
(3-A) 100 円玉を 10 枚使用する場合
他の硬貨は使用できないので 1 通り
(3-B) 100 円玉を 9 枚使用する場合
他の 2 種類の硬貨で 100 円を組み合わせる。
50 円玉の使用枚数は 0，1，2 枚のいずれかであるから 3 通り
(3-C) 100 円玉を 8 枚使用する場合
他の 2 種類の硬貨で 200 円を組み合わせる。
50 円玉の使用枚数は 0〜4 枚のいずれかであるから 5 通り
(3-D) 100 円玉を 7 枚使用する場合
他の 2 種類の硬貨で 300 円を組み合わせる。
50 円玉の使用枚数は 0〜6 枚のいずれかであるから 7 通り
(3-E) 100 円玉を 6 枚使用する場合
他の 2 種類の硬貨で 400 円を組み合わせる。
50 円玉の使用枚数は 0〜8 枚のいずれかであるから 9 通り
(3-F) 100 円玉を 5 枚使用する場合
他の 2 種類の硬貨で 500 円を組み合わせる。
50 円玉の使用枚数は 0〜10 枚のいずれかであるから 11 通り
(3-G) 100 円玉を 4 枚使用する場合
他の 2 種類の硬貨で 600 円を組み合わせる。
50 円玉の使用枚数は 0〜12 枚のいずれかであるから 13 通り
(3-H) 100 円玉を 3 枚使用する場合
他の 2 種類の硬貨で 700 円を組み合わせる。
50 円玉の使用枚数は 0〜14 枚のいずれかであるから 15 通り
(3-I) 100 円玉を 2 枚使用する場合
他の 2 種類の硬貨で 800 円を組み合わせる。
50 円玉の使用枚数は 0〜16 枚のいずれかであるから 17 通り
(3-H) 100 円玉を 1 枚使用する場合
他の 2 種類の硬貨で 900 円を組み合わせる。
50 円玉の使用枚数は 0〜18 枚のいずれかであるから 19 通り
(3-I) 100 円玉を使用しない場合
他の 2 種類の硬貨で 1000 円を組み合わせ。
50 円玉の使用枚数は 0〜20 枚のいずれかであるから 21 通り
よって，500 円玉を 18 枚使用する場合の組合せは
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＝121 (通り)
以上のことから，500 円玉の枚数による場合分けについて，次のことが分かる。
- 500 円玉の使用枚数が 1 枚減るごとに，100 円玉の使用枚数による場合分けが 5 通り増える。
- 100 円玉の使用枚数が 1 枚減るごとに，50 円玉の使用枚数の最大値は 2 枚増える。
- 500 円玉と 100 円玉の使用枚数による場合分けを行なったとき，各場合の組合せの数は 50円玉の使用可能枚数の最大値に 1 を加えたものになる。(例えば，500 円玉 10 枚，100 円玉 20 枚の場合，10000−500×10−100×20＝3000 円を他の 2 種類の硬貨で組み合わせる。50 円玉の使用枚数は 0〜60 枚のいずれかであるから 61 通り。)
したがって，500 円玉の使用枚数の場合分けによる組合せは以下のようになる。
(1) 20 枚使用する場合 1 通り
(2) 19 枚使用する場合
1＋3＋5＋7＋9＋11＝36 (通り)
(3) 18 枚使用する場合
1＋3＋5＋…＋19＋21＝121 (通り)
(4) 17 枚使用する場合
1＋3＋5＋…＋29＋31＝256 (通り)
(5) 16 枚使用する場合
1＋3＋5＋…＋39＋41＝441 (通り)
(6) 15 枚使用する場合
1＋3＋5＋…＋49＋51＝676 (通り)
(7) 14 枚使用する場合
1＋3＋5＋…＋59＋61＝961 (通り)
(8) 13 枚使用する場合
1＋3＋5＋…＋69＋71＝1296 (通り)
(9) 12 枚使用する場合
1＋3＋5＋…＋79＋81＝1681 (通り)
(10) 11 枚使用する場合
1＋3＋5＋…＋89＋91＝2116 (通り)
(11) 10 枚使用する場合
1＋3＋5＋…＋99＋101＝2601 (通り)
(12) 9 枚使用する場合
1＋3＋5＋…＋109＋111＝3136 (通り)
(13) 8 枚使用する場合
1＋3＋5＋…＋119＋121＝3721 (通り)
(14) 7 枚使用する場合
1＋3＋5＋…＋129＋131＝4356 (通り)
(15) 6 枚使用する場合
1＋3＋5＋…＋139＋141＝5041 (通り)
(16) 5 枚使用する場合
1＋3＋5＋…＋149＋151＝5776 (通り)
(17) 4 枚使用する場合
1＋3＋5＋…＋159＋161＝6561 (通り)
(18) 3 枚使用する場合
1＋3＋5＋…＋169＋171＝7396 (通り)
(19) 2 枚使用する場合
1＋3＋5＋…＋179＋181＝8281 (通り)
(20) 1 枚使用する場合
1＋3＋5＋…＋189＋191＝9216 (通り)
(21) 使用しない場合
1＋3＋5＋…＋199＋201＝10201 (通り)
(1)〜(21) を合計して，73871 通り。
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