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図のように，六角形の底面を持ち高さ 12 m である柱状のビルと，ビルの高さより高いかべがあります。いま，このビルの太陽光線によってできる影を考えます。1 年のうちで，A (○月○日○時○分) のときには，ビルの影が 250 m2 になり，B (△月△日△時△分) のときには 239 m2 になります。A のときと B のときとでは，地面にできるビルの影は合同な図形になり，地面に鉛直に立てた棒の影も同方角の，東方向，北方向に 2:3 (2:3 の方角) にできます。A のときと B のときの，棒によってできる影の長さの比を求めて下さい。ただし，ビルの影の面積とは，地面にできた影とかべにできた影の両方の面積を足したもので，ビルの底面や側面はふくみません。
(青春の光と影)
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| ▼ 解説 |
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A，B いずれの場合も地面にできた影は図 1 のようになり，その面積は
14×15−6×10−16/3×8÷2−5×15/2÷2＝1319/12 m2
壁にできる影の面積は
A のとき，250−1319/12＝1681/12 m2
B のとき，239−1319/12＝1549/12 m2
水平に光が当たったとき壁にできる影の面積は
(17/3＋3＋5＋1/2)×12＝170 m2
ビル上面で，長さ 4 m，5 m，3 m，2 m のいずれかの辺上の点を通る 2:3 方向の断面は図 2 のようになる。水平方向と太陽光線のなす角は A のとき α で，B のとき β である。
ここで，水平から光が当たったときには影になるが，A のときと B のときには影にならない部分に着目する。どの点を通る断面図であっても α，β の値は等しいので，A のときと B のとき影にならない部分の長さの比は一定である。
よって，図 3 において，a:b＝c:d であり，B のとき影にならない部分は，A のとき影にならない部分を直線 l に関して，たてに何倍かした図形になっている。すなわち，(A のとき影にならない部分の長さ):(B のとき影にならない部分の長さ)＝(A のとき影にならない部分の面積):(B のとき影にならない部分の面積) となる。
図 4 において，△CDE と △CFG が相似であることと，CF:CD＝(B のときの影の長さ):(A のときの影の長さ) であることにより，(B のときの影の長さ):(A のときの影の長さ)＝(A のとき影にならない部分の面積):(B のとき影にならない部分の面積) である。
したがって，A のときと B のときの，棒によってできる影の長さの比は，水平に光が当たったとき壁にできる影において，影にならない部分の面積の逆比であるから，
(170−1549/12):(170−1681/12)＝491:359
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