算数トライアスロン V

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◆ 16. BossF さん

F 君は，夏期講習でとなりの子が持ってたスピログラフ (注 1) に感動し，お母さんにねだりました。すると，返ってきた返事は，

「なに考えてるんでしょうね。この子は 5 年生でしょ。もうすぐ受験よ。でも，この問題が解けたら考えても良いわ…。
半径 4 cm の円の内部で，1 辺 4 cm の正方形を円周に沿って滑らないように回転させていったとき，一つの頂点はある図形を描くの。その図形の面積を求めてみて。」

さっそく F 君，図をかいてみました。すると，ムーミン谷の誰かさんに似たきれいな図が…。「さすが，かあさん」と思いながら解き始めましたが，どうしても解けません。そこで，お母さんに質問にいったところ，

「あら，しまったわ。確かに小学校の範囲じゃ無理ね。」

といって，

「ひとよひとよに…えっと，によよくよく…だったかしら?」

となにやら呪文を唱えながら図をかいてくれて，それを参考にやるようにといわれました。

さて翌日，「ふ～，やっとできたよ～！」と F 君がお母さんのところに持っていったら，

「あら，昨日のやったの? ごめんね～。お母さん，あなたが学校行ってるあいだにいろいろ探してみたんだけど，スピログラフ，もう売ってないみたいよ。」

といわれてがっくり…。

さて問題です。半径 4 cm の円の内部で，1 辺 4 cm の正方形を円周に沿って滑らないように回転させていったとき (注 2)，一つの頂点が元の位置に戻ってくるまでに描く曲線によって囲まれる図形の面積は何 cm² ですか。四捨五入して小数第 1 位まで求めてください。

必要ならば，F 君のお母さんの図を使ってください。なお，解き方によってどうしても割り切れない割り算などが現れた場合は，答えに影響しないよう十分な桁数をとりながら計算を進めてください。

注 1: ご存知ない方は (ご存知の方も) http://www.zusaku.com/2kspiro.html をご覧になってください。

注 2: 下図のように動かします。

(がんばれ F 君 Part 2)

▼ 解説

正方形は 1 回につき 30°回転するから，曲線は中心角 30°の扇形の弧を描き，その半径は 4 cm または 1 辺 4 cm の正方形の対角線の長さである。まず，扇形の弧と弦に囲まれた部分の面積を考える。半径が 4 cm の場合 (右図)，4×4×3.14×1/12－4×2÷2 で，これが 6 個あるから，全部で (3.14×4/3－4)×6＝25.12－24＝1.12 (cm²)...(1) 半径が 1 辺 4 cm の正方形の対角線の長さの場合 (下図)，(4×4×3.14×1/12－4×2÷2)×2 で，これが 3 個あるから，全部で (3.14×4/3－4)×2×3＝25.12－24＝1.12 (cm²)...(2) 次に，弦で囲まれた部分の面積を考える (下図)。ひし形を，頂角 30°の二等辺三角形 2 つと考えれば，お母さんの図と (1) の考え方から，2.07×(2.07×1/2)÷2×2 で，これが 3 個あるから 2.07×2.07×1/2×3...(3) 直角二等辺三角形は 2.07×2.07÷2 で，これが 3 個あるから 2.07×2.07×1/2×3...(4) (3)，(4) をあわせて，2.07×2.07×3＝12.8547 (cm²)...(5) (1)，(2)，(5) より，求める面積は 1.12＋1.12＋12.8547＝15.0947≒15.1 (cm²)