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ある大阪府の有名進学校で模試が行われ，本日 12 月 1 日，成績が発表されました。その高校に通う三つ子の兄弟 A 君，B 君，C 君が家で親に見せ，こんな話をしてました。(A，B，C はそれぞれ自分の点数以外知りません。)
母 「A と B の点差はちょうど 130 点よ」
B 「うーん，それだけじゃあ A の点数はわからないなぁ」
A 「僕もわからないよ」(※1)
父 「お，A と C の点差は 100 点ぴったりだな」
C 「うーん，わからないなぁ」(※2)
父 「よーし，一番初めにみんなの点数がわかったやつに，チェさんの唐揚げ定食を食べさしてやろう。一生懸命考えてみなさい」
A，B，C 「うーん」(※3)
A 「まだ誰もわかってないのか。じゃあわかった」(※4)
C 「じゃあ，僕もわかった」(※5)
(チェさんの唐揚げ定食はすごく美味しい)
以上のようなことが起こりうる A，B，C の点数の組合せのうち，A＋B＋C が最大となるような A，B，C の組合せを求めてください。ただし，このテストは 1000 点満点とします。また，A，B，C はとても頭がよいとします。
※1: A は B の点数がわかっていないものとします。
※2: C は A の点数も B の点数もわかっていないものとします。
※3: 3 人とも，他の 2 人の得点のうち，少なくとも一方はわかっていないものとします。
※4: A は B の点数も C の点数もわかったものとします。
※5: C は A の点数も B の点数もわかったものとします。
(カラアゲテイショク)
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| ▼ 解説 |
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母 「A と B の点差はちょうど 130 点よ」
B 「うーん，それだけじゃあ A の点数はわからないなぁ」...(1)
A 「僕もわからないよ」...(2)
父 「お，A と C の点差は 100 点ぴったりだな」
C 「うーん，わからないなぁ」...(3)
父 「よーし，一番初めにみんなの点数がわかったやつに，チェさんの唐揚げ定食を食べさしてやろう。一生懸命考えてみなさい」
A，B，C 「うーん」...(4)
A 「まだ誰もわかってないのか。じゃあわかった」...(5)
C 「じゃあ，僕もわかった」
(1) の時点で B の点数は 130〜870，(2) の時点で A の点数は 260〜740，(3) の時点で C の点数は 360〜640 とわかる。
(A，B，C)＝(740，610，640) が題意を満たすことを示す。
A の立場で考えてみる。
(3) の時点で C は 640 点とわかる。
(4) の時点で B の 点数は 610 または 870 とわかっている。もし B が 870 点ならば，(2) の時点で B は A の点数 (740 点) がわかり，(3) の時点で B は C の点数 (640 点) がわかる。
よって，B が (4) のように悩むのはおかしいことになる。
したがって，B は 610 点とわかる。
C の立場で考えてみる。
(3) の時点で A の点数は 540 または 740 とわかっている。もし A が 540 点ならば，(3) の時点で A は C の点数が 440 または 640 とわかる。しかし，C がいずれの点数であっても，(3) のように C は A の点数を定められないので，(4) の時点でも A は C の点数がわからない。
よって，A が (5) のように発言するのはおかしいことになる。
したがって，A は 740 点とわかる。
A の点数がわかれば，A と同様の考えで B の点数 (610 点) がわかる。
よって，(A，B，C)＝(740，610，640) は題意を満たすことがわかり，このとき，3 人の合計点は 1990 となる。
次に，合計点が 1990 を超える A，B，C の組合せは存在しないことを示す。
C＜A＜B，C＞A＜B，C＞A＞B の 3 つに場合分けして考える。
(A の点数は 260〜740 であるから，C＜A＞B の場合，(A，B，C)＝(740，610，640) のとき，3 人の合計点は最大となる。)
C＜A＜B の場合:
合計点が 1990 より大きくなるためには (A，B，C)＝(654，784，554) 以上が必要である。このとき，B の立場で考えると，(2) の時点で A の点数がわかり，(3) の時点で C の点数がわかる。よって，(4) のように悩むのはおかしい。
C＞A＜B の場合:
合計点が 1990 より大きくなるためには (A，B，C)＝(587，717，687) 以上が必要であるが，これは (3) の時点でわかる C の範囲に矛盾する。
C＞A＞B の場合:
合計点が 1990 より大きくなるためには (A，B，C)＝(674，544，774) 以上が必要であるが，これは (3) の時点でわかる C の範囲に矛盾する。
したがって，(A，B，C)＝(740，610，640) のとき，3 人の合計点 A＋B＋C は最大値 1990 をとる。
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