◆ 20. sugitakukun さん

『ついにやってきました 2001 年の算数トライアスロン。初挑戦ですがどーぞよろしく。初めて開催を知ったのが 8 月 29 日だから，それからおよそ 90 日。その間に私は 17 歳になりました。まあ苦労して作った問題ですから，4，5 分で解いたりしないよーに。 では問題。この文章 (＝『　』内) には，1 が (a) 個，2 が (b) 個，3 が (c) 個，4が (d) 個，5 が (e) 個，6 が (f) 個，7 が (g) 個，8 が (h) 個，9 が (i) 個，そして，0 が (j) 個あります。このとき，これらの (　) にあてはまる数の組合せをすべて答えてください。』 注意: (a)〜(j) に入る数はすべて 1 けたです。 あてはめた数もカウントして文章が成立しなければいけません。 よくわからない人は下の例題を見てください。 この注意書きや例題に出てくる数はカウントしません。 問題になっているのは文章中の数字の数です。例えば，2001 は "2"，"0"，"0"，"1" という 4 つの数字に分けて考えます。 例題: 「この文には，1 が (a) 個，2 が (b) 個，3 が (c) 個，4 が (d) 個あります。」 この例題では，(a，b，c，d)＝(3，1，3，1) というのが答えの一つです。なぜなら，これらの数を文にあてはめたとき，文に出てくる数は「1，3，2，1，3，3，4，1」となり，1 が 3 個，2 が 1 個，3 が 3 個，4 が 1 個になっているからです。ちなみに，(a，b，c，d)＝(2，3，2，1) というのも答えです。確認してみてください。 (試行錯誤の数え上げ 〜実話より〜)

▼ 解説 (a)〜(j) 以外に現れる数字の個数は次のようになる。 数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 個数 3 3 1 2 2 1 2 2 3 4 (a)〜(j) は 1 けたの数であるから，1〜9 のいずれか。すなわち，(a)〜(j) に 0 は入らないから，0 は 4 個と定まる。よって，4 は 3 個以上となる。 9 の個数について考える。 (a)〜(j) に入る数の和は，文章中に出てくる数の個数と同じである。(a)〜(j) には 1 個ずつ合計 10 個の数字が入るから，その和は 33 である。 9 が 5 個とすると，(a)〜(h) のうち 2 つに 9 が入ることになるが，このとき (a)〜(j) の和は最小でも 9＋9＋1＋2＋2＋1＋2＋2＋5＋4＝37 となり不適。 9 が 4 個とすると，(a)〜(h) のうち 1 つに 9 が入ることになるが， 3 が 9 個とすると，(a)〜(j) のうち 8 つに 3 が入ることになり，(a)〜(j) の和が最小でも 33 を超えてしまうので不適。 同様にして，4〜8 のいずれも 9 個とはできない 1 が 9 個とすると，(a)〜(j) のうち 6 つに 1 が入ることになるが，(a)〜(j) のうち，たかだか 2 つしか 1 は入らないので不適。 同様にして，2 が 9 個とはできない。 よって，9 は 3 個と定まる。 ここで，(a)〜(h) 以外に現れる数字の個数は次のようになっている。 数字 1 2 3 4 5 6 7 8 個数 3 3 2 3 2 1 2 2 このとき，(a)〜(h) の和は 33−4 (0 の個数) −3 (9 の個数) ＝26 である。 8 の個数について考える。 8 が 4 個以上とすると，(a)〜(h) の和は最小でも 8＋8＋2＋3＋2＋1＋2＋4＝30 となり不適。 8 が 3 個とすると，(a)〜(g) のうち 1 つに 8 が入ることになるが， 3〜5，7 のいずれかが 8 個とすると，(a)〜(h) の和が 26 を超えてしまうので不適。 1，2，6 はもはや 8 個にはならないので不適。 よって，8 は 2 個と定まる。 まとめると，次のようになる。 数字 1 2 3 4 5 6 7 個数 3 4 2 3 2 1 2 このとき，(a)〜(g) の和は 26−2 (8 の個数) ＝24 である。 7 の個数について考える。 7 が 4 個以上とすると，(a)〜(g) の和は最小でも 7＋7＋2＋3＋2＋1＋4＝25 となり不適。 7 が 3 個とすると，(a)〜(f) のうち 1 つに 7 が入ることになるが， 3〜5 のいずれかが 7 個とすると，(a)〜(g) の和が 24 を超えてしまうので不適。 1，6 はもはや 7 個にはならないので不適。 2 を 7 個とすると，3，5，6 は 2 個になるが，もはや 1 も 4 も 6 個にはならない。 よって，7 は 2 個と定まる。 ふたたびまとめると，次のようになる。 数字 1 2 3 4 5 6 個数 3 5 2 3 2 1 このとき，(a)〜(f) の和は 24−2 (7 の個数) ＝22 である。 1 の個数で場合分けする。1 は 3 個または 4 個である。 (A)　1 が 3 個のとき: 6 は 1 個ではない，すなわち 2 個以上になる。6 を 3 個とすると，(a)〜(f) の和を 22 にするためには，2，4 が 6 個となるが，3，5 の個数を増やさないといけないので不適。よって，6 は 2 個と定まり，2〜5 のいずれかが 6 個である。 まとめると，次のようになる。 数字 2 3 4 5 個数 6 3 3 2 このとき，(b)〜(e) の和は 22−3 (1 の個数) −2 (6 の個数) ＝17 である。 2 を 7 個以上とすると，3〜5 のいずれかが 6 個になり，(b)〜(e) の和が 17 を超えてしまうので不適。よって，2 は 6 個と定まる。 残る (c)〜(e) は 3〜5 のいずれかである。 その和は 17−6 (2 の個数) ＝11 であるが，5 を 4 個以上とすると，(c)〜(e) の和が 11 を超えてしまうので不適。 よって，5 は 3 個と定まり，3 は 5 個，4 は 3 個に決まる。 したがって，答えは (a) から順に，(3，6，5，3，3，2，2，2，3，4) となる。 (B)　1 が 4 個のとき: 6 は 1 個と定まり，2 は 5 個に決まる。 まとめると，次のようになる。 数字 3 4 5 個数 2 4 3 このとき，(c)〜(e) の和は 22−4 (1 の個数) −1 (6 の個数) −5 (2 の個数) ＝12 である。 (c)〜(e) は 3〜5 のいずれかであるが，3 は 4 個以上にできないから，3 は 3 個と定まり，4 は 5 個，5 は 4 個に決まる。 したがって，答えは (a) から順に，(4，5，3，5，4，1，2，2，3，4) となる。 (A)，(B) より，答えは (a) から順に，(3，6，5，3，3，2，2，2，3，4)，(4，5，3，5，4，1，2，2，3，4) の 2 通り。