◆ 21. CRYING DOLPHIN さん

図の五角形 ABCDE の面積は何 cm2 ですか。 この五角形については，次のことがわかっています。 AB＝80 cm，CD＝50 cm，EA＝25 cm 五角形の内角はすべて 180 度より小さい ∠ABC＋∠ADC＋∠DAE＝180 度，∠BAC＋∠ACD＋∠AED＝180 度 ∠ADC＞90 度，∠AED＞90 度 ∠AED の大きさは ∠ABC の大きさの 2 倍 (Hey Men Zoo K?!)

▼ 解説 図 1 のように，△ABC と △ADE をそれぞれひっくり返す。このとき，∠BCA＋∠CAD＋∠ADE＝540−180×2＝180 度であるから，ひっくり返した後の 2 つの辺 BC，DE は一直線になる。ここにできた四角形を PQRS とする (図 2)。 図 2 において，∠P＝∠ABC，∠R＝∠ADC＋∠DAE より，∠P＋∠R＝180 度である。また，∠S＝∠AED＞90 度，∠R＝∠ADC＋∠DAE＞∠ADC＞90 度である。よって，PS と QR の延長線は図において点 R の右側で交わり，その点を T とする (図 3)。 図 3 において，∠PSR(＝∠SPQ×2)＝∠SRT＋∠STR...(1) ∠SPQ＋∠QRS＝180 度であるから，∠SPQ＝∠SRT...(2) (1)，(2) より，∠STR＝∠PSR−∠SRT＝∠SPQ よって，△QTP は ∠QTP＝∠TPQ の二等辺三角形，△SRT は ∠SRT＝∠RTS の二等辺三角形である。しかも，△QPT と △SRTは 2 角が等しいので相似である。その相似比は QP:SR＝80:25＝16:5 であり，ST＝SR＝25 cm，QT＝PQ＝80 cm より，RT＝80−50＝30 cm である。 ここからは △SRT に注目する (図 4)。 S から辺 RT に下ろした垂線の足を H とすると，RH＝30÷2＝15 cm よって，△SRH は「辺の長さが 3:4:5 の直角三角形」となっているので， SH＝25×4/5＝20 cm したがって，△SRT の面積は 30×20÷2＝300 cm2 四角形 PQRS は，△QPT から △ SRT を取り除いたものである。 相似な図形は相似比が a:b のとき，その面積比は (a×a):(b×b) であるから，求める面積は 300×(16×16−5×5)/(5×5)＝2772 (cm2) 寸評: 当初は全然違うアイデアを必要とする問題を考えていたのですが，そのアイデアをひねっているときにふと「図形をひっくり返す」というアイデアが浮かんで，試行錯誤を繰り返した末完成したのがこの問題です。ちょっと条件が多いのが不満なところですが，とある別のアイデアでも簡単に解かれてしまうのを封じる為にはこの方法しか思いつきませんでした。