◆ 22. ノースダウン さん

図のように，紙の上に a〜i の 9 個の点が打ってあります。 次の条件にしたがって，この紙から一片の紙片を切り取ります。ただし，点のみで接するような 2 つ以上の図形は一片とみなしません。また，切り取った紙片はへこみのある図形も考えるものとします。 切り取った紙片の頂点は a〜i のいずれかの点とする。 直線で切断する。 反転・回転・移動して重なる場合もそれぞれ 1 通りとして数える場合，紙片の面積が 1 cm2 となる切り取り方は (ア) 通りで，3 cm2 となる切り取り方は (イ) 通りである。 (今年は，数えあげ)

▼ 解説 切り取った紙片は，面積が 0.5 cm2 の 2 種類の三角形 (右図) を組み合わせた形である。 まず，面積が 1 cm2 となるためには，三角形を 2 個組み合わせればよい。頂点が a〜i に一致するように等しい長さの辺どうしを組み合わせて考えると， ア-1 と ア-1 ... 2 種類 ア-1 と イ-1 ... 2 種類 ア-2 と ア-2 ... 1 種類 ア-2 と イ-2 ... 1 種類 イ-1 と イ-1 ... 1 種類 イ-2 と イ-2 ... 1 種類 の 8 種類の形をつくることができる。 (イ-3 と イ-3 を組み合わせた場合，ア-1 と ア-1 を組み合わせた図形と同じになる) この 8 種類の形状の，それぞれの切り取り方は次の表のとおり 60 通りである。 次に，面積が 3 cm2 となる場合を考える。 正方形 agic の面積は 4 cm2 であるので，この正方形から面積が 0.5 cm2 の三角形を 2 個切り取ればよい。三角形 2 個の切り取り方は次の 3 パターンある。 三角形 1 を 2 個切り取る 三角形 1 と 三角形 2 を 1 個ずつ切り取る 三角形 2 を 2 個切り取る それぞれの場合について，切り取る組合せを数える。そこで，正方形 agic を右図のように 4 ヶ所のエリアに分割して考える。 (A)　三角形 1 を 2 個切り取る場合 三角形 1 を条件に合うように切り取ると，エリアをまたいで切り取ることはない。 よって，切り取り方は次の 3 パターンある。 1 つのエリアから 2 個切り取る 隣り合う 2 つのエリアから 1 個ずつ切り取る 対角の 2 つのエリアから 1 個ずつ切り取る (A-1)　1 つのエリアから 2 個切り取る場合: 4 通り (A-2)　隣り合う 2 つのエリアから 1 個ずつ切り取る場合: エリア 1 と エリア 2 から切り取る場合を考えると，次の表の 16 通りのうち，緑色に塗られた 6 通りが条件に合う。 エリアの組合せは 4 通りあるので，計 6×4＝24 通り。 (A-3)　対角の 2 つのエリアから 1 個ずつ切り取る場合: エリア 1 と エリア 3 から切り取る場合を考えると，次の表の 16 通りのうち，緑色に塗られた 5 通りが条件に合う。 エリアの組合せは 2 通りあるので，計 5×2＝10 通り。 以上を合わせて，(A) の場合は 4＋24＋10＝38 通り。 (B)　三角形 1 と 三角形 2 を 1 個ずつ切り取る場合 さきに 三角形 2 を切り取るとすると，その切り取り方は次の 2 パターンある。 長さ 1 cm の辺が四角形の辺の一部 長さ 1 cm の辺が四角形の内側 (B-1)　長さ 1 cm の辺が四角形の辺の一部になっている場合: 残った部分は 3 cm2 の四角形と 0.5 cm2 の三角形に分割されているが，3 cm2 の四角形を紙片とすればよい。三角形 2 の切り取り方は 8 通りあるので，面積が 3 cm2 の紙片の切り取り方も 8 通り。 (B-2)　長さ 1 cm の辺が四角形の内側にある場合: 残った部分は 1 cm2 と 2.5 cm2 の四角形に分割されている。このとき，3 cm2 の四角形を切り取ることはできない。 (C)　三角形 2 を 2 個切り取ることはできない。 (A)〜(C) の場合を合わせて，38＋8＝46 (通り)