◆ 24. 圭太 さん

異なる濃度の砂糖水 A，B を 4:3 の比で混ぜて，15 % の砂糖水をつくります。A，B の濃度の組合せは何通りありますか。 ただし，どちらの砂糖水の濃度もその百分率の値が整数 (0 を除く) であるものとします。 (シェイクシェイク?!)

▼ 解説 砂糖水 A，B の濃度をそれぞれ a %，b % とする。 A を 4 kg，B を 3 kg 混ぜたとすると，砂糖水の量は 3＋4＝7 kg，その中に含まれる砂糖の量は 4×a/100＋3×b/100＝(4×a＋3×b)/100，濃度は (4×a＋3×b)/100÷7＝(4×a＋3×b)/700 である。 この値が 15 % に等しいから，(4×a＋3×b)/700＝15/100 すなわち，b＝35−4/3×a a，b は整数であるから，a は 3 の倍数である。...(1) また，b＞0 より，4/3×a＜35 すなわち，a＜105/4＝26.25...(2) (1)，(2) より，a のとりうる値は 1≦a≦26 を満たす 3 の倍数である。 したがって，(a，b) の組合せは (3，31)，(6，27)，(9，23)，(12，19)，(15，15)，(18，11)，(21，7)，(24，3) のうち， (15，15) を除く 7 通り。