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0〜9 の 10 個の数字を 1 回ずつ使って，次のような 10 けたの整数をつくります。
- 整数の上から 2 けたを取り出した数は 2 で割り切れる。
- 整数の上から 3 けたを取り出した数は 3 で割り切れる。
- 整数の上から 4 けたを取り出した数は 4 で割り切れる。
- 整数の上から 5 けたを取り出した数は 5 で割り切れる。
- 整数の上から 6 けたを取り出した数は 6 で割り切れる。
- 整数の上から 7 けたを取り出した数は 7 で割り切れる。
- 整数の上から 8 けたを取り出した数は 8 で割り切れる。
- 整数の上から 9 けたを取り出した数は 9 で割り切れる。
- 整数全体は 10 で割り切れる。
この整数は何ですか。
(数字遊びはお好き? (僕は好き))
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| ▼ 解説 |
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10 けたの整数を "ABCDEFGHIJ" とする。
10 けたの整数は 10 の倍数であるから，一の位 J は 0 である。
また，上から 5 けたが 5 の倍数であるから，E は 5 である。
さらに，上から 2，4，6，8 けた目 の B，D，F，H には偶数 2，4，6，8 のいずれかが割り当てられ，残りの A，C，G，I には奇数 1，3，7，9 のいずれかが割り当てられる。
このことを次のような表にまとめる。
| A | B | C | D | E | F | G | H | I | J |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
| 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 |
| 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 |
| 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 |
| 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 |
| 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 |
| 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 |
| 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
上から 4 けたが 4 の倍数であるから，"CD" は 4 の倍数である。
ところが，D が 4 または 8 のときは適当な C が存在しないので，D は 4 または 8 ではない。
"GH" も 4 の倍数であるが，同様の理由で H は 4 または 8 ではない。
| A | B | C | D | E | F | G | H | I | J |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
| 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 |
| 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 |
| 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 |
| 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 |
| 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 |
| 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 |
| 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
上から 3 けた目までの和 A＋B＋C，および上から 6 けた目までの和 A＋B＋C＋D＋E＋F はともに 3 の倍数であるから，D＋E＋F は 3 の倍数である。
よって，"DEF" は 258 または 654 である。
(a) "DEF" が 258 の場合
| A | B | C | D | E | F | G | H | I | J |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
| 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 |
| 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 |
| 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 |
| 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 |
| 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 |
| 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 |
| 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
"ABC" は 3 の倍数であるから，147 または 741
また，上から 8 けたが 8 の倍数であるから，"FGH" は 8 の倍数，すなわち 816 または 896
よって，G は 9 となる。このとき，上から 7 けたは 1472589 または 7412589 となるが，いずれも 7 の倍数ではない。
(b) "DEF" が 654 の場合
| A | B | C | D | E | F | G | H | I | J |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
| 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 |
| 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 |
| 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 |
| 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 |
| 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 |
| 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 |
| 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
上から 8 けたが 8 の倍数であるから，"FGH" は 8 の倍数，すなわち 432 または 472
(b-1) "FGH" が 432 の場合
| A | B | C | D | E | F | G | H | I | J |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
| 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 |
| 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 |
| 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 |
| 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 |
| 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 |
| 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 |
| 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
"ABC" は 3 の倍数であるから，189，981，789，987 のいずれか。
よって，上から 7 けたは 1896543，9816543，7896543，9876543 のいずれかとなるが，いずれも 7 の倍数ではない。
(b-2) "FGH" が 472 の場合
| A | B | C | D | E | F | G | H | I | J |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
| 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 |
| 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 |
| 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 |
| 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 |
| 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 |
| 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 |
| 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
"ABC" は 3 の倍数であるから，183，381，189，981 のいずれか。
よって，上から 7 けたは 1836547，3816547，1896547，9816547 のいずれかとなるが，このうち 3816547 が 7 の倍数である。
以上より，すべての条件を満たす整数は 3816547290 である。
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