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三角形 ABC において，∠A の二等分線と辺 BC の交点を D とすると，
AB＋AD＝CD，AC＋AD＝BC となりました。このとき，∠ADB は何度ですか。
(某中学校入試問題対策・・・ではないです。)
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| ▼ 解説 |
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∠CAB＝∠A，∠ABC＝∠B，∠ACB＝∠C とかく。
AB＋AD＝CD...(1)，AC＋AD＝BC...(2)
(2)−(1) より，AC−AB＝BC−CD＝BD
辺 AB の延長線上に点 E を AE＝AC となるようにとると，BE＝AE−AB＝AC−AB＝BD となるので，△BED は二等辺三角形となり，∠B＝∠BED＋∠BDE＝∠AED×2
また，AE＝AC，AD は共通，∠EAD＝∠CAD より，△AED と △ACD は合同。
よって，∠B＝∠AED×2＝∠C×2
∠C＝α とする。
辺 BC 上に点 F を ∠FAC＝α となるようにとると，∠FAC＝∠ACF より △AFC は二等辺三角形となり，AF＝CF
また，∠AFB＝α×2＝∠B であるから，AB＝AF＝CF
これと (1) より，DF＝CD−CF＝CD−AB＝AD
よって，∠DAF＝∠DFA＝α×2
したがって，∠BAD＝∠DAC＝α×2＋α＝α×3，∠A＝∠BAD＋∠DAC＝(α×3)×2＝α×6
△ABC の内角の和は 180°であるから，
∠A＋∠B＋∠C＝α×6＋α×2＋α＝α×9＝180°
よって，α＝20°
したがって，∠A＝120°，∠B＝40°となるので，
∠ADB＝180−(120÷2＋40)＝80°
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