◆ 30. KIN さん

算トラ IV で KIN 君は「平面 KIN マーク」を作り大満足♪ 今でもズボンのひざの破けたところにはしっかりとアップリケがついています。 さて，1 年間の修行の末，今回算トラ V では「立体 KIN マーク」作成に燃えている KIN 君でありました。 まずは，5 cm × 5 cm の方眼紙に "K"，"I"，"N" の文字を 1 枚ずつ，下図のようにデザインします。 注意 1: 図の黄緑色の点は 1 辺の中点，青色の点は 1 つのマスの中心です。 注意 2: 図の 1 マスは 1 cm です。 次に，5 cm × 5 cm × 5 cm の立方体を用意し，"K"，"I"，"N" のデザインを描いた方眼紙を，6 面のうち 3 面にうら返しにしないように貼ります。ただし，立方体の向かい合った面に方眼紙を貼ってはいけません。 例えば，右図のような貼り方がありますね。 ここで，KIN 君はこの他にも文字を回転させたり，貼る面を変えたりすることにより，たくさんの貼り方があることに気がつきました。 方眼紙をはったら，それぞれのデザインの黒い部分を，その面と垂直に切り落とします。この作業を "K"，"I"，"N" の文字すべてについてやります。 この作業をすると，影絵として，「Ｎ」を貼った面から光を当てると「Ｎ」の文字が影として出てきますね。同様に，"K" の面から光を当てると "K" の文字，"I" の面からだと "I" という影絵ができます。 最後に，型紙にしていた方眼紙をはがしましょう。 これで，立体 KIN マークが完成しました。 わぁいヽ(∇⌒ヽ)(ノ⌒∇)ノわぁい♪ (1)　立体 KIN マークとして考えられる形は何通りありますか。ただし，回転して重なるものは 1 つと数えます。 (2)　右図のように方眼紙を貼った場合，切り落としの作業で完成した立体 KIN マークの体積は何 cm3 ですか。 (今回はオアシスになれるかな?)

▼ 解説 (1)　図の左のように立方体を見て，青色の点がある辺で展開したときの位置関係を，図の右のように表すことにする。 文字を貼るときの向きや，貼る位置関係を変えると，次の 32 通りができる。 上図において，黒色の番号と青色の番号は同じ立体を表している。 3 段目の (5)〜(8) はそれらを立体にして，左に 90 度回転させると，2 段目の (5)〜(8) と一致する。 5 段目の (9)〜(12) は それらを立体にして，左に 90 度回転させると，4 段目の (9)〜(12) と一致する。 7 段目の (5)〜(8) はそれらを立体にして，左に 90 度回転させると，6 段目の (5)〜(8) と一致する。 8 段目の (1)〜(4) はそれらを立体にして，右に 90 度回転させると，1 段目の (1)〜(4) と一致する。 6 段目の (5)〜(8) はそれらを立体にして，反対側から見ると，2 段目の (5)〜(8) と一致する。 よって，12 通り。 (2)　上の段から立方体の状態を考えていくと，下図 (左下のピンク色の点が正面) のようになる。丸数字 1〜3 はそれぞれ 1〜3 段目の状態 (単位は cm3) を表している。4，5 段目はそれぞれ 2，1 段目と同じ。 1 段目 は (21＋1/2) cm3，2 段目は (14＋1/2＋7/12) cm3，3 段目は (10＋3/4) cm3 よって，(1 段目)×2＋(2 段目)×2＋(3 段目)＝1007/12 (cm3)