◆ 35. 中村明海 さん

ある公園に，2001 年内の完成をめざし，ミレニアムを記念した大時計を建設中です。分針が 20.01 m，時針が 14.2 m，そして秒針が 24.6 m という巨大なものです。まだ，それぞれの針が進む速さは正確ではありません。なお，これらの針の長さは時計の中心から先端までの距離とします。 さて，この時計の 3 本の針の先端を結ぶ三角形が正三角形になるとき，その正三角形の面積は，1 辺の長さが 1 m の正三角形の面積の何倍ですか。ただし，正三角形の大きさがいくつか考えられる場合は，それらすべての面積を合計してください。 (ミレニアム記念大時計)

▼ 解説 (a)　正三角形ができるようす 時計の中心を O，時針・分針・秒針の先端をそれぞれ A，B，C とし，△ABC が正三角形であるとする。△OCP が正三角形となるように点 P をとると，△OCA と △PCB は合同 (2 辺夾角相等) であるから，PB＝OA (時針)。 よって，点 B は，点 O を中心とする分針の長さ OB を半径とする円と，点 P を中心とする時針の長さ OA を半径とする円の交点である。 2 つの円の交点は 2 個 (図の B と B') であるから，条件を満たす正三角形の大きさもこれら大小 2 種類だけである。 (b)　大きい正三角形の面積 S 図のように，点 A，B，C を中心に，点 O を時計回りに 60 度回転した点を，それぞれ Q，R，P とする。また，OA，OB，OC を 1 辺とする正三角形の面積を，それぞれ "あ"，"い"，"う"，△OBC，△OCA，△OAB の面積を，それぞれ "ア"，"イ"，"ウ" とし，3 本の針を 3 辺とする三角形の面積を "え" とする。このとき， 四角形 OAQC に注目して，あ(AOQ)＋え(COQ)＝イ(OAC)＋ウ(QAC) 四角形 OBRA に注目して，い(BOR)＋え(AOR)＝ウ(OBA)＋ア(RBA) 四角形 OCPB に注目して，う(COP)＋え(BOP)＝ア(OCB)＋イ(PCB) これら 3 つの式を足すと，あ＋い＋う＋え×3＝(ア＋イ＋ウ)×2...(1) ここで，S(ABC)＝ア(OBC)＋イ(OCA)＋ウ(OAB) であるから， (1) より，S＝(あ＋い＋う＋え×3)÷2...(2) ここまでは，類題 (別解) が 算チャレ 第 15 回 にありますのでご参考に。 (c)　小さい正三角形の面積 T 記号を (b) と同様に定義する。ただし，点 R は，点 B を中心に，点 O を反時計回りに 60 度回転した点とする。 四角形 OACQ に注目して，あ(OAQ)＋ウ(CAQ)＝え(QOC)＋イ(AOC) 四角形 OBCR に注目して，い(OBR)＋ウ(CBR)＝え(ROC)＋ア(BOC) 四角形 OCBP に注目して，う(OCP)−イ(BCP)＝え(POB)＋ア(COB) これら 3 つの式を足すと，あ＋い＋う＝え×3＋(ア＋イ−ウ)×2...(3) ここで，T(ABC)＝ア(OBC)＋イ(OCA)−ウ(OAB) であるから， (3) より，T＝(あ＋い＋う−え×3)÷2...(4) (d)　正三角形の面積の合計 大小の正三角形の面積の合計は，(2)＋(4) より，S＋T＝あ＋い＋う すなわち，それぞれの針の長さを 1 辺とする 3 個の正三角形の面積の和にほかならない。これらは，1 辺の長さが 1 m の正三角形の面積の，"あ" は 14.2×14.2＝201.64 倍，"い" は 20.01×20.01＝400.4001 倍，"う" は 24.6×24.6＝605.16 倍 である。 したがって，答えは 201.64＋400.4001＋605.16＝1207.2001 (倍)